zerkalius · исследование

Щелчок по картинке — в полный размер (и ×2, ×4). Цикл Аниматрицы в Zerkalius Code на сцене «1» — что нашлось, 2026-09-24. Кратко то же — в борт-журнале (v0.089, запись после Code 35.55, и словарь). Готовым к просмотру, без разбора — «Битмультфильмы».

0Откуда числа

Журнал Аниматрицы (кнопка ⏺ Журнал в Code) со сцены «1» дал текст: 128 строк × 257 символов из «1», «0» и пробелов, проход 15. Правило волны детерминированное: каждая строка переписывается по уже переписанной строке над ней — два одинаковых символа → пробел, символ и пробел → символ, два разных → верхний. Дальше всё досчитано вне страницы тем же правилом по всем проходам. Главный вывод подтвердила сама страница на 667-м проходе: «🔁 цикл: период 128, повтор после 65-го прохода».

1Разгон и цикл 128

Нулей было 976 — они протекают вниз столбиками и гасятся друг о друга; к 65-му проходу их нет. Дальше — чистый цикл: проход 193 = проход 65, символ в символ. Если заменить нули единицами, цикл 128 идёт сразу.

2Почему 128

Без нулей проход делает строку i равной XOR всех строк над ней и её самой. Через k проходов строка собирается из строк выше с коэффициентами C(i−j+k−1, k−1) по модулю 2 — треугольник Паскаля по чётности. По теореме Лукаса (1878) через 2^m проходов, если 2^m ≥ числа строк, остаётся только сама строка. Отсюда период — ближайшая степень двойки не меньше числа строк: 128 строк → 128, 100 → 128, 200 → 256.

3Любой кадр — XOR сдвинутых копий

Кадр через k проходов после 65-го — это XOR копий 65-го кадра, сдвинутых вниз на все d, у которых нет общих двоичных единиц с k−1 (d & (k−1) = 0). Пример: проход 155 (он же 667-й), k = 90, k−1 = 1011001 → сдвиги 0, 2, 4, 6, 32, 34, 36, 38; проверено — совпадает символ в символ.

• Густо–редко через проход: на чётных единиц ровно вдвое меньше (в среднем 2562 против 5075; 65 — 4168, 66 — 2096) — поэтому чётные кадры на листе темнее. И строже: в чётных проходах ни одна единица ни разу не стоит прямо над другой (пар «единица над единицей» — 0, в нечётных — в среднем 3751). Нечётный кадр — вертикальные штрихи (у 90% единиц над ними тоже единица), следующий проход складывает строку с соседней сверху, и штрих гасится до точек. Кадры чередуются: штрихи — точки — штрихи.
• Родственники через 8: кадры, отстоящие на 8, делят общий мотив.
• Через 64 к строке прибавляется строка на 64 выше — проступает вложенный сдвинутый треугольник.

4У каждой строки свой период

строки	0	1	2–3	4–7	8–15	16–31	32–63	64–127
период	1	2	4	8	16	32	64	128

Период строки — ближайшая степень двойки больше её номера (Лукас по одной строке: ей нужны только строки выше). Треугольник — часовой механизм: каждая полоса вдвое медленнее верхней, общий период — период нижней. В Code: ▤ Полосы периодов в «Виде».

5Ромбы-«кадры»

Картинка почти повторяется при сдвиге по диагонали: (16 строк, ±16 символов) — 89,5% клеток, 32 — 90%, 8 и 24 — около 70%, мимо на один символ — 59% (уровень случайности). Ромбы — 32 строки высотой, соседние сдвинуты на 16. Причины: Правило 90 ведёт узор ровно на символ за строку (диагонали под 45°), а треугольник Серпинского сложен из своих копий, сдвинутых по диагонали. В Code: ◇ Ромбическая сетка.

6Размер ромбов — нули в k−1

Каждый нулевой разряд 2^j в двоичной записи k−1 добавляет копию со сдвигом 2^j и включает ромбы этого размера. Проход 977 (k = 16, 0001111) — три размера сразу: 16, 32, 64. Проход 129 (0111111) — только 64. Проход 155 (1011001) — 32 плюс утолщения. Проход 192 (1111110) — крупных нет. В Code: сетка с шагом «авто — по проходу» рисует включённые размеры сама, с легендой.

7Ромбы изнутри

На проходе 155 — 21 целый ромб; с верхним совпадают на 83–97% (на средней вертикали — 97%). За весь цикл ромбов 2688 (21 место × 128 проходов), разных 1541: 1206 встречаются один раз, 130 — по 4, 128 — по 6, два почти пустых — по 20. Верхний ромб (строки 0–32) повторяется через 64 прохода, у него 64 разных кадра.

8Близнецы

• Зеркало. Каждый ромб либо симметричен сам (303), либо имеет зеркального близнеца (1238) — всегда в том же проходе на зеркальном месте. Вся анимация в каждом кадре симметрична слева направо: новая информация — только в половине. В Code: ⫼ Ось симметрии с живым процентом.
• Точные. То же место через 64 прохода (320 пар); тот же проход, на 32 строки ниже по боковой стороне (по 128 пар в каждую сторону — вдоль краёв чередуются всего два кадра); на 64 ниже (по 64).
• Почти. Многие пары отличаются на 1 или 3 клетки — и всегда только на краю ромба, в вершинах: граница принадлежит следующей, более медленной полосе. Верхний ромб на проходах 65 и 97 отличается одной нижней вершиной.
• Семья пустых. Самая большая семья почти одинаковых (58) — пустые ромбы внизу по центру, та самая тёмная «дыра».

8½Каждый ромб — один бит

Идея пользователя: свернуть каждый ромб в один бит так, чтобы зеркальные близнецы получали одинаковый бит, а у симметричного ромба бит зависел от соседей через ось. Обоим условиям отвечает чётность ромба — XOR всех его клеток: у близнецов единиц поровну — бит один и тот же; в симметричном ромбе каждая клетка равна своей соседке через ось, пары гасят друг друга в XOR, и остаются только клетки на самой оси. А XOR — родная операция волны.

• Из ромбов выходит новый треугольник: ромбы 32 строки — 21 бит, 16 строк — 105, 8 строк — 465.
• Он всегда симметричен — во всех 128 проходах и при всех размерах.
• У него свой цикл — тоже ровно 128. При ромбах 16 и 8 все 128 кадров разные; при ромбах 32 разных всего 40 — грубая картина повторяется внутри цикла, но целиком возвращается только через 128.

Ромбы из ромбов. Треугольник из ромбов-битов лежит в той же геометрии, что и исходный (бит через клетку, как у Правила 90), поэтому его можно свернуть ещё раз — и ещё. Лестница с ромбами высотой 4: 128 строк → 62 → 29 → 13 → 5 → 1.

ступень	1	2	3	4	5
строк · бит	62 · 1953	29 · 435	13 · 91	5 · 15	1 · 1
период	128	128	128	128	128
разных кадров за цикл	128	128	128	91	2

• Каждая ступень всегда симметрична и держит период исходной картины — 128, хотя по своему числу строк у неё была бы своя волна с периодом 64, 32, 16, 8. Ступени помнят часы оригинала.
• Ступень не подчиняется волне сама: проход волны по ступени не даёт ступень ни одного из следующих проходов. Свёртка ромбами и волна не перестановочны — масштаб у этой волны не самоподобен.
• Верхний бит (весь треугольник, свёрнутый до одной клетки) внутри цикла повторяется ровно через 12 проходов блоком 000111101111, без единого нарушения. Но 128 на 12 не делится — на стыке циклов ритм сбивается (по кругу совпадение 94%). Откуда 12 — разобрано (v0.015):
  1. Верхний бит — чётность единиц кадра на следе: фиксированном наборе из 3613 клеток (найден обратным ходом свёртки; сверено на всех 128 проходах).
  2. След, приложенный к копиям начального кадра (проход 65), сдвинутым на d строк, выделяет набор сдвигов D = {d : d mod 12 ∈ {2, 4, 9, 11}} — 2, 4, 9, 11, 14, 16, 21, 23, … — он периодичен с шагом 12.
  3. Верхний бит на проходе k = чётность числа d ∈ D с d & (k−1) = 0 (закон «кадр — XOR сдвинутых копий»); совпадает на всех 128.
  4. Период 12 у D по модулю 2: 1 + x¹² = (1+x)⁴·(1+x+x²)⁴. Множитель (1+x)⁴ даёт ритм 4, а 1+x+x² — ритм 3 (кубические корни из единицы): вместе 12. Строк всего 128 — ряд обрывается, отсюда сбой на стыке циклов.
  Это свойство лестницы из ромбов высотой 4, а не волны: при высоте 2 ритм 68, при 8 — 96, при 6 ритма нет. Дальше (v0.016): шаг 12 сидит в самом следе — его центральный столбец это 111101111000, повторённый через 12. Складывается по ступеням: после первой ступени столбец повторяется через 4 (0111), на второй-третьей ритм смешанный, с четвёртой — ровно 12: четвёрка первой свёртки × тройка, набегающая дальше. Тройку даёт именно ромб: одномерная модель (только строки, окно 5 строк с шагом 2) даёт шаг 5, а не 12 — нужен захват соседних столбцов и перекрытие соседних ромбов по краям. Волна этот след лишь «читает»; чистый D с шагом 12 выходит только при отсчёте от начала цикла (65-й проход) — от шума, одной точки или других кадров D не периодичен. Вопрос закрыт: остальное — комбинаторика лестницы.

8¾Зеркало через центр с XOR

Идея пользователя: на экране строки идут по кругу — снизу треугольник (начало текста, строка 0 — вершина), сверху трапеция (конец текста); они касаются в центре. Отразить нижний треугольник вверх через эту точку (строка i → строка 127−i) и сложить XOR с тем, что там есть. Треугольник симметричен слева направо, поэтому отражение через центр — то же, что отражение вверх. Сделано для верхней половины (строки 64–127), нижняя не тронута.

• Меняется только середина трапеции — там, куда ложится перевёрнутый треугольник (вершиной вниз, к центру).
• Проход 128 — знак Зеркалиуса. Середина трапеции на этом проходе совершенно пуста (0 единиц): трапеция распалась на два треугольника. Отражение ложится в пустоту точным зеркалом — выходят песочные часы: пирамида и её отражение вершинами через центр.
• Проход 155 — каша. Верх и отражённый низ совпадают лишь на 49% (уровень случайности): XOR не гасит, а смешивает, середина густеет (3976 → 4868 единиц в верхней половине). Лучше всего совпадают проходы 128 (91%), 192, 126, 96.
• После операции волна снова циклична — период 128, сразу, без разгона.

И обратно: верх вниз, в противоположные стороны. Боковые части верхней трапеции отражены через центральную точку (поворот на 180°): верхний левый угол ложится в пустоту справа от нижнего треугольника, верхний правый — слева; XOR с нижней половиной. И вариант «оба сразу» — каждая половина XOR отражённая другая, от исходного кадра.

• Проход 128: боковые треугольники вписываются в пустоты точными копиями — справа и слева встают два целых больших ромба (высотой 64). «Оба сразу» — вся картина становится решёткой больших ромбов с крестом через центр: ромбическая сетка, только в масштабе 64, собранная из одного кадра.
• Проход 155: общий контур становится шестиугольником (трапеция + её отражение), середина — густая смесь.
• «Оба сразу» всегда даёт картину, симметричную сверху вниз (проверено на 128 и 155), с удвоенным числом единиц (897 → 1794). После любой из операций волна снова циклична — период 128, без разгона.

8⅞Надпись: ромбы как буквы

Слово пользователя, глядя на треугольник с ромбической сеткой: «почти надпись». Проверили буквально: каждый ромб сетки — буква, одинаковые ромбы — одна и та же буква, зеркальный ромб — та же буква строчной. Ромбы 16 строк, проход 155.

• Алфавит маленький: 105 ромбов, разных 47, а с точностью до зеркала — 26 букв. Самая частая — 14 раз, семь букв по одному-два раза. Если не смотреть на самый край ромба (он общий с соседями), букв остаётся 15. По всему циклу в кадре от 22 букв (проходы 143–144, 159–160) до 32 (98–100); ромбы 8 строк — от 48 до 107, ромбы 32 — 8–9.
• Каждая строка — палиндром-зеркало: слева строчные, справа те же прописные в обратном порядке. Сами себе симметричны только 5 букв, и они стоят лишь на средней вертикали.
• Горизонтальных «слов» нет: повторов длиннее 4 букв в строках не нашлось.
• «Слова» идут вдоль сторон. Ряд ромбов, параллельный боковой стороне, после короткого «заголовка» повторяет одно слово без конца:

  ряд 0 (край):  Ш | а б · а б · а б · а б · а б · а     слово «аб»,   длина 2
  ряд 1:         А Э | д е в з · д е в з · д е в        слово «девз», длина 4
  ряд 2:         Б Д Ю | г ж и Л · г ж и Л · г           слово «гжиЛ», длина 4

  Длина слова ряда e — ближайшая степень двойки больше e+1: 2, 4, 4, 8, 8, 8, 8, 16, …; слово начинается не позже уровня 2e+1. Проверено на всех 128 проходах цикла (ромбы 8 строк — ряды 0–6, ромбы 4 — ряды 0–14), без исключений. Это тот же закон, что «у каждой строки свой период» (раздел 4), только вдоль стороны: у треугольника Серпинского стороны равноправны с основанием, и чем дальше ряд от края, тем медленнее его часы.

9Другие треугольники: прогноз сбылся

Откуда нули: генератор «Правило 90» пишет внутри треугольника «0» там, где клетка пустая, а «Обрезать фон» превращает в пробелы только то, что снаружи; ширина — 2·строк+1 (у 128 строк — 257, как в журнале сцены «1»). Тем же способом построены треугольники на 50, 64, 100, 128, 200, 256 строк (сид «1») и прогнаны волной с нулевого прохода:

строк	50	64	100	128	200	256
период	64	64	128	128	256	256
нули вымерли, цикл с прохода	33	33	65	65	129	129
нулей в начале	2083	3367	8749	14197	36247	58975

• Период — ближайшая степень двойки не меньше числа строк, как и предсказано: 100 → 128, 200 → 256. 128 строк дали те же «цикл 128 с 65-го», что показала страница, — значит, расчёт повторяет Code точно.
• Разгон у этих треугольников — ровно половина периода плюс один проход: 33 = 64/2 + 1, 65 = 128/2 + 1, 129 = 256/2 + 1; нули вымирают именно к этому проходу, и тут же начинается цикл. Поправка v0.021: это верно не для всех N — только для верхней четверти каждого удвоения; точная формула — в разделе 12.

Шире (v0.006): 17 прогонов — другие правила, сиды, без обрезки фона. Период всегда P — ближайшая степень двойки не меньше числа строк: при любом правиле, сиде, с обрезкой и без, и даже когда нули не вымирают. А вот «половина + 1» — не общий закон, а свойство треугольника Серпинского (правило 90 или 18 из одной точки, с обрезкой):

треугольник	64 строки: цикл с	100 строк: цикл с	нули
правило 90 и 18, сид 1	33 (= P/2 + 1)	65 (= P/2 + 1)	вымирают
правило 150, сид 1	40	80 (оба — 5/8 P)	вымирают
правило 30, сид 1	10	11	вымирают
правило 110, сид 1	8	8	вымирают
правило 90, сид 11	18	—	вымирают
правило 90, сиды 101, 1101, 10011	33, 18, 18	—	живут в цикле
правило 90 и 30, без «Обрезать фон»	32 (= P/2)	64 (= P/2)	живут в цикле

Нули вымирают не всегда: при сидах 101, 1101, 10011 и без обрезки фона они живут внутри цикла, а период всё равно P. Без обрезки цикл начинается ровно на P/2.

Правило 150 вблизи (100 строк). Исходный треугольник почти весь из нулей (7348 синих против 2652 единиц). За первые 10 проходов нулей остаётся 502, к 40-му — 16, а дальше несколько одиночек держатся до 80-го: они и тянут разгон до 5/8 периода. С 80-го — чистый цикл 128 (проход 208 = проход 80). У цикла правила 150 свой рисунок — сквозные вертикальные «стволы» и треугольники по бокам, а не дышащий вложенный треугольник, как у правила 90.

Правило 30 вблизи (100 строк) — полная противоположность. Правило 30 хаотическое: в исходном треугольнике нулей и единиц почти поровну (4804 и 5196), без правильного рисунка. Нули гибнут быстро: 3360 после первого прохода, 453 после пятого, к 11-му — ни одного. Разгон — всего 11 проходов. Цикл на вид — шум без треугольников Серпинского, но строгий: период ровно 128, проход 139 = проход 11 символ в символ (4927 единиц и там, и там). Левый край треугольника правила 30 и в цикле держит правильные косые полосы, правый — хаос.

Правило 110 вблизи (100 строк). Из одной точки правило 110 растёт только влево, и треугольник выходит половинкой — с вертикальным правым краем. Нулей в начале 2174 при 2876 единицах; разгон самый короткий из всех — 8 проходов (1682 нуля после первого, 234 после шестого, к 8-му — ни одного). Дальше — цикл ровно 128, проход 136 = проход 8 (по 2550 единиц). Форма треугольника на период не влияет: он всё равно задан числом строк. Зеркальной симметрии у половинки, понятно, нет — «⫼ Ось симметрии» здесь ничего не покажет.

9½Без обрезки: у каждого столбца своя метка

Проверка пользователя: «Правило 90», 50 строк, без «Обрезать фон» — весь прямоугольник заполнен символами, вне треугольника сплошные «0», пробелов нет вовсе. Разгон 32, период 64 (как и предсказано: P = 64, без обрезки цикл с P/2). Но в цикле единиц почти не остаётся — от 1 до 50 на кадр, и все они в одном центральном столбце, под сидом; нули живут. С обрезкой — наоборот: нули вымирают полностью, единицы живут. Разгадка закрывает оба старых вопроса.

1. Столбцы не смешиваются. Волна переписывает клетку строки r+1 только по клетке того же столбца строки r. Каждый столбец — своя одномерная волна сверху вниз; соседи друг о друге не знают.
2. Метка ползёт сверху. Где встречаются «0» и «1», остаётся верхний. Поэтому метка самой верхней непустой клетки столбца (в исходном тексте; строка 0 волной не переписывается) постепенно заливает весь столбец. К началу цикла каждый столбец однометочный — проверено на всех кадрах цикла, метка всегда равна метке верхней клетки.
3. Дальше — чистый XOR. В однометочном столбце правило волны — это «одинаковые → пусто, разные → символ», то есть XOR по наличию символа. Поэтому период всегда степень двойки P, какими бы ни были нули: метки просто едут на узоре XOR и на него не влияют. (Пока метки не выровнялись, «0» под «1» даёт символ, а не пусто — это и есть разгон.)
4. Когда нули вымирают: нули живут в цикле ровно в тех столбцах, чья верхняя непустая клетка — «0». С обрезкой верх каждого столбца — край треугольника, а у Серпинского и правил 150, 30, 110 из одной точки край всегда «1» — нули вымирают. Сиды 101, 1101, 10011 оставляют «0» в строке 0 — нули живут (это и были «загадочные» строки таблицы выше). Без обрезки строка 0 — сплошные «0», кроме сида, — единицы остаются только под сидом. Закон совпал на всех 13 прогонах (правила 90, 18, 150, 30, 110; сиды 1, 11, 101, 1101, 10011; с обрезкой и без).
5. Полосы во всю ширину на кадрах без обрезки — это фон вне треугольника: там столбцы из одних «0» однометочны с самого начала и сразу идут чистым XOR, строки мигают своими периодами — те же полосы, что в разделе 4.

Почему разгон именно такой — разобрано в разделе 9¾: без обрезки он считается точно и выходит P/2, у Серпинского с обрезкой — в разделе 12 (не всегда P/2 + 1!), у правила 150 (5/8 P) формулы пока нет.

9¾Доказательство: период обязан быть P

Раздел 9½ показал, что происходит: столбцы живут порознь, метка верхней клетки заливает столбец, дальше чистый XOR. Это было замечено на прогонах. Ниже — почему иначе и быть не может, при любом правиле, сиде и любых нулях.

1. Метка столбца вечна. Строку 0 волна не переписывает, а над пустой клеткой ничего не меняется («пробел и символ → символ», «два пробела → пробел»), поэтому верхние пробелы столбца остаются пробелами, а самая верхняя непустая клетка стоит на месте и со своим символом. Это и есть метка столбца ℓ.
2. Выше верхней чужой клетки чужому взяться неоткуда. Пока всё над ней — пробелы и ℓ, бегущий сверху накопитель бывает только пробелом или ℓ, а значит и пишет только пробел или ℓ.
3. Над чужой клеткой правило — чистый XOR. В одномето́чной части «одинаковые → пусто», «символ и пробел → символ»: один проход — накопительный XOR сверху, то есть умножение на 1/(1+z) над GF(2).
4. Каждая строка когда-нибудь непуста. Пусть h — половина периода строки r (период строки — ближайшая степень двойки больше её номера, раздел 4). Тогда (Phx)r = xr ⊕ xr−h, потому что (1+z)−h ≡ 1 + zh с точностью до строки r. Если бы строка r была пуста на всех проходах, пустой на всех проходах была бы и строка r−h, и так вниз до строки 0 — а она непуста всегда. Значит строка r хоть раз, да непуста.
5. Вывод. Верхняя чужая клетка стоит ровно под такой строкой, и в проход, когда та непуста, «два разных → верхний» ставит на её место ℓ. Чистая часть столбца растёт строго вниз, чужие метки кончаются за конечное число проходов, и дальше столбец — чистый XOR. Поэтому период всегда P, а нули — лишь ярлык, едущий по узору XOR и на него не влияющий. Нелинейность волны живёт только в разгоне.

Когда нули вымирают — оттуда же: нули остаются в цикле ровно в столбцах с меткой «0». С обрезкой верх столбца — край треугольника, а он «1», кроме столбцов под самим сидом. Значит нули вымирают тогда и только тогда, когда в сиде нет нуля: 1 и 11 — вымирают, 101, 1101, 10011 — живут, и живут именно в столбцах под своими нулями. Без обрезки строка 0 — сплошные «0», кроме сида, поэтому выживают нули, а единицы остаются только в столбце под сидом (те самые «от 1 до 50 единиц на кадр» из раздела 9½).

Разгон без обрезки — ровно P/2, и это теперь считается. Столбец на отклонении d от центра: сверху d клеток сплошного фона «0», под ними край треугольника «1» — первая чужая клетка. В XOR-мире метки «0» сплошной фон — это сплошные единицы, и строка d−1 на проходе k равна C(d−1+k, k) по модулю 2; по теореме Куммера это нечётно ровно тогда, когда в двоичной записи k & (d−1) = 0. Значит верхняя чужая клетка столбца гибнет на проходе min{k ≥ 1 : k & (d−1) = 0} — совпало для всех 676 столбцов на прогонах в 50, 64, 100 и 128 строк. Максимум берётся там, где d−1 = 2j−1: тогда k обязан быть кратен 2j, то есть равен d. Наибольшее такое d ниже числа строк — это P/2, и разгон равен ему.

Проверка расчётом заодно подтвердила и то, на чём всё держится: начало цикла — это в точности тот проход, на котором гибнет последняя чужая метка (совпало на всех прогонах: 33, 33, 65, 65 у Серпинского, 40 и 80 у правила 150, 32, 32, 64 без обрезки). Разгон — это ровно время жизни нулей, а не что-то сверх него.

10Классика и своё

Классика: Лукас (1878), Глейшер (1899: в строке n треугольника Паскаля нечётных чисел 2 в степени «число единиц в двоичной записи n»), Серпинский (1915), Вольфрам с соавторами (1983–84: Правило 90 и линейные клеточные автоматы). Своё у Zerkalius — три символа и правило «два разных → верхний»: волна нелинейна, отсюда разгон с вымиранием нулей. В литературе такого варианта не встречалось, но утверждать, что его никто не изучал, нельзя.

Закрыто (v0.019, раздел 9¾): почему период не меняется от нулей — доказано: чужие метки гибнут за конечное число проходов, дальше столбец идёт чистым XOR, и нелинейность живёт только в разгоне. При каких сидах нули вымирают — тогда и только тогда, когда в сиде нет нуля. Разгон без обрезки — ровно P/2, с выводом по теореме Куммера.

Осталось: точная формула разгона у Серпинского с обрезкой — найдена и для рекордсмена выведена в разделе 12 (открыта только верхняя граница); у правила 150 (5/8 P). Известно, где искать: последними держатся не самые глубокие клетки, а вполне определённые — у Серпинского на отклонении P/4 от центра, у правила 150 на отклонении P/8 около строки 3P/4.

111024 строки и лестница размеров

Серпинский по правилу 90 (сид 1, фон обрезан), от 64 до 1024 строк, прогнан через весь цикл вне страницы — тем же правилом волны и той же переписью ромбов, что в Треугольнике (сверено с ним: 64 строки, проход 5, ромб 16 — 21 ромб, 15 рисунков, 9 букв; 128 строк, ромб 32 — те же 1541 разных рисунков, что в разделе 7).

строк N	64	100	128	256	512	1000	1024
период P	64	128	128	256	512	1024	1024
цикл с прохода	33	65	65	129	257	513	513

• Разгон — P/2 + 1 во всех этих прогонах, в том числе у 100 и 1000 строк. Поправка v0.021: это совпадение выбора N — все они в «верхней четверти» удвоения; в общем случае см. раздел 12. Нули живут только в разгоне — во всех кадрах цикла один символ «1».
• Число ромбов зависит только от q = N/S: (q − 1)(2q − 1) — 3, 21, 105, 465, 1953, 8001, 32385 при q = 2 … 128.
• Подобие. При одном и том же q картина одна и та же на любом N. q = 4 (ромб в четверть высоты): в кадре 21 ромб, 14–15 разных рисунков, 8–9 букв — у 64, 128, 256, 512 и 1024 строк; разных рисунков за цикл ≈ 12·P (11,98 → 12,22, дальше не растёт). Мелкие ромбы (q ≥ 8) за цикл разнообразнее с ростом N, но медленно.
• Самые крупные ромбы не повторяются. q = 2 (три ромба, вершина и два боковых): за цикл ровно 3·P разных рисунков и 2·P букв — каждый кадр даёт три новых ромба, ни один не встречается дважды, а боковые всегда зеркальны друг другу.
• Сложность кадра — от числа копий. Чем больше нулевых разрядов у k − 1 (копий-треугольников, раздел 3), тем больше в кадре разных ромбов. 1024 строки, ромб 32: 1 нулевой разряд — в среднем 475 рисунков, 5 — 572, 9 — 648.

12Разгон: точная формула (и поправка к «P/2 + 1»)

Столбцы живут независимо (раздел 9½), клетка видит только клетки выше в своём столбце — значит, у каждой клетки треугольника своё время жизни нуля τ, и оно не зависит от того, сколько строк ниже. Посчитано для всех клеток до 1024 строк, и прямым прогоном до повтора — для каждого N от 3 до 139 и выборочно до 512.

• Цикл начинается ровно тогда, когда гибнет последний «0»: начало цикла = max τ по строкам треугольника + 1 — расхождений ноль.
• max τ растёт скачками, и не на степенях двойки, а на строках 3·2^k−1 + 1: 4, 7, 13, 25, 49, 97, 193, 385, 769 — там τ впервые доходит до 2^k. Держится дольше всех одна пара клеток: строка 3·2^k−1 + 1, отступ ±2^k−1 от оси (при N = P это «отклонение P/4 около строки 3P/4» из раздела 10).

N	50…64	65…97	98…128	129…193	194…256	257…385	386…512	513…769	770…1024
период P	64	128	128	256	256	512	512	1024	1024
цикл с прохода	33	33	65	65	129	129	257	257	513

Поправка к разделам 9 и 11. «Разгон = P/2 + 1» верно только для N от 3·2^m−2 + 2 до 2^m — верхней четверти каждого удвоения. В остальных трёх четвертях (например, 65…97 строк при P = 128) цикл начинается вдвое раньше, с P/4 + 1: самая долгоживущая клетка ещё не вошла в треугольник. Прежние прогоны (50, 64, 100, 128, 200, 256, 512, 1000, 1024 строки) все случайно попали в «верхние четверти», поэтому закон выглядел всеобщим.

Почему рекордсмен именно такой — вывод (v0.022). Столбец с отступом a = 2k−1, сверху край треугольника «1» (строка a), глубина — от неё вниз.

1. Исходный столбец. На нечётной глубине — «0» (чётность строки не та, правило 90 там ставит ноль). На чётной глубине 2i — C(a+2i, i) по модулю 2; при 0 < i < a это чётно: при сложении i и a+i младший разряд i переносится (Куммер). Значит под верхней «1» лежат ровно 2a − 1 нулей подряд. На глубине 2a — C(3a, a): a и 2a не пересекаются, переносов нет, нечётно — «1». На глубине 2a + 1 — снова «0»: это и есть рекордсмен, строка a + 2a + 1 = 3·2^k−1 + 1.
2. Первый проход. Верхняя «1» заливает все 2a − 1 нулей («разные → верхний») — получается сплошной блок из 2a единиц. «1» на глубине 2a встречает над собой «1» и гаснет в пробел — и этот пробел прикрывает ноль под ним («пробел и символ → символ»).
3. Дальше блок — чистый XOR (метка одна). Клетка-щит под блоком (глубина 2a) после ещё k проходов равна Σ C(m+k−1, k−1) по m = 1…2a = C(2a+k, k) − 1 (правило хоккейной клюшки): она непуста ровно тогда, когда C(2a+k, k) чётно, а по Куммеру это k & 2a ≠ 0. Первое такое k — само 2a.
4. Итог: щит пуст 2a проходов подряд, ноль под ним живёт до прохода 2a = 2^k и гибнет на проходе 2^k + 1 — ровно как в таблице.

столбец a = 4, глубина 0…11 (· — пробел)          проход 1: блок 1111 1111, щит «·», под ним рекордсмен «0»
п. 0: 100000001000    п. 3: 11··11···0··    п. 6: 1·1······00·
п. 1: 11111111·0·0    п. 4: 1···1····000    п. 7: 11·······0··
п. 2: 1·1·1·1··00·    п. 5: 1111·····0·0    п. 8: 1········000    п. 9: 111111111111 — щит непуст, ноль погиб

Отсюда и формула целиком, если никто не живёт дольше рекордсменов: треугольник из N строк содержит рекордсмена τ = 2^k при 3·2^k−1 + 1 ≤ N − 1, то есть 2^k ≤ 2(N − 2)/3. Открыто одно: общее доказательство, что никакая другая клетка не живёт дольше (верхняя граница) — пока это проверено сплошным расчётом всех клеток до 1024 строк. (Первая догадка v0.021 — «сплошная лесенка 1 0 1 0 над рекордсменом» — была неверна: над ним не лесенка, а сплошь нули.)

13Протекание: как «1» и «0» текут с вершины вниз

Вопрос пришёл из «🗻 3D» Треугольника: на гранях пирамид видны полосы-слои, и по ним сверху вниз что-то «протекает». Что именно — видно по одной клетке и её верхнему соседу (он уже пересчитан этим же проходом).

сверху	1	0	1	0	символ	пусто
снизу	0	1	1	0	пусто	что угодно
станет	1	0	пусто	пусто	символ	как было

• Течёт только вниз и только по столбцу. Верх уже новый, поэтому одна течь за один проход может пробежать весь столбец; вбок не течёт ничего (раздел 9½). На пирамиде столбец проходит северную грань до вершины и спускается по южной — течь идёт поперёк полос.
• «0» течёт только в разгоне. Верхняя «1» заливает нули под собой, одинаковые гасят друг друга; цикл начинается ровно с гибелью последнего нуля (раздел 12). В цикле течёт одна «1», и это чистый XOR.
• Родник вечен. Самая верхняя «1» столбца (край треугольника) не меняется никогда: над ней всегда пусто.

• Отсюда полосы. На проходе k = 2^m + 1 условие — d & 2^m = 0: столбец лежит сплошными блоками высотой 2^m через такие же пустые. На проходе 2^m — тонкие линии через каждые 2^m. Толщина слоёв меняется по степеням двойки.
• Ось треугольника — чистый родник. Под вершиной в исходном столбце одни нули; первый проход заливает их сплошь, и дальше ось на проходе p — ровно родник с k = p (сверено для 128 строк, проходы 1…255; картинка справа). Прочие столбцы — родник плюс XOR сдвинутых копий того, что лежит ниже (раздел 3); чистым родником со своим сдвигом фазы оказывается лишь часть из них (у 64 строк — 34 отступа из 64 в первом кадре цикла).
• Возврат. Столбец высотой L повторяется через ближайшую степень двойки ≥ L проходов — у родника видно прямо на картинке: проход 129 = проход 1.